Amostragem e Falseamento (aliasing)
Erro de quantização no conversor A/D
Um conversor analógico para digital (A/D) é um circuito eletrônico capaz de gerar uma saída digital na forma de um número binário proporcional a uma entrada analógica medida.
Existem inúmeros tipos de circuitos A/D, entre eles, o Registro de Aproximações Sucessivas (SAR), Capacitores Chaveados e alguns outros implementados parcialmente em software. Cada um possui características que priorizam diferentes critérios de desempenho. Alguns, por exemplo, são rápidos (permitindo altas frequências de amostragem), mas possuem uma precisão baixa, enquanto outros são lentos, mas altamente precisos.
Como a saída do conversor é uma palavra binária, apenas alguns níveis discretos da entrada serão representados. Ou seja, valores intermediários da entrada serão arredondados, gerando um erro chamado de Erro de Quantização (Eq). Este pode ser calculado pela relação:
Falseamento (“aliasing”)
Um determinado sinal analógico S1 passa por um conversor A/D (processo de amostragem ou digitalização) e sua versão digital S2 é, em seguida, convertido de volta para a forma analógica resultando no sinal S3. Se o sinal S1 é diferente do sinal S3, então dizemos que houve falseamento ou “aliasing” no processo de digitalização.
O teorema de Shanon diz que para um sinal ser amostrado adequadamente deve-se utilizar um amostrador cuja freqüência de amostragem seja pelo menos o dobro da maior freqüência presente no sinal a ser digitalizado. Esta freqüência é conhecida como freqüência de Nyquist. Quando esta condição não é satisfeita, temos o problema de aliasing ou falseamento.
O exemplo a seguir ilustra este problema. O sinal 1, em vermelho, deve ser amostrado e possui freqüência máxima de 5 Hz. Porém, devido a uma interferência externa, ele é “poluído” por um sinal com freqüência de 8 Hz, tomando a forma indicada pelo sinal 2 na figura. Como esta interferência não estava prevista, a freqüência de amostragem do conversor A/D baseou-se numa freqüência máxima de 5 Hz, ou seja, . E o período de amostragem equivalente é de 0,1 segundos.
Neste caso ocorrerá falseamento, pois a freqüência máxima real do sinal é de 8 Hz, e requer uma freqüência de amostragem de pelo menos 16 Hz.
A Figura 5 explica o falseamento no domínio da freqüência. Em (a) é exibido o espectro de potência do sinal 2 e em (b) o espectro de potência de um amostrador com . O espectro do sinal 2 após ser digitalizado por este amostrador é exibido em (c). Repare que o espectro de um sinal digital é semelhando ao espectro de sua versão analógica, porém seu perfil “copiado” infinitamente em intervalos que correspondem à freqüência usada para amostrá-lo. No processo inverso, de conversão de digital para analógico, a parte replicada do espectro é removida por um filtro passa-baixa e o sinal reconstituído é mostrado em (d).
Repare, no entanto que, durante a replicação do perfil em (c), houve uma superposição de parte do espectro. Devido a esta superposição, o espectro mostrado em (d) é diferente daquele original mostrado em (a). Esta distorção no perfil é indicativo de que haverá falseamento. O resultado é mostrado na Figura 6 onde são comparados o sinal original e o sinal reconstituído após a digitalização. Note que o sinal reconstituído não equivale nem ao sinal original (sinal 1), nem ao sinal distorcido (sinal 2).
Existem duas formas para se evitar este problema. A primeira é aumentar a freqüência de amostragem para 16Hz. Assim estaríamos amostrando adequadamente o sinal 2. Na prática utiliza-se freqüência ainda maiores (em torno de 10 vezes a freqüência máxima) para garantir a integridade do sinal mesmo na presença de fatores limitantes em conversores, tal como incertezas e falta de seletividade de filtros.
A segunda solução é realizar uma filtragem do sinal antes dele ser amostrado. A idéia é remover do sinal as freqüência que ultrapassam a freqüência de Nyquist. Este pré-filtro é conhecido como filtro “anti-aliasing” ou anti-falseamento. Esta solução é mais indicada pois elimina os ruídos de alta frequência que seriam responsáveis pelo falseamento. Esta aplicação é exemplificada na figura a seguir.
A figura 7 mostra os espectros do sinal original, amostrador, sinal digitalizado e sinal reconstituído, respectivamente. Dessa vez, o sinal foi previamente filtrado, não houve sobreposição no espectro e o espectro do sinal reconstituído (d) equivale exatamente ao do sinal original (a).
Considerando que todo sinal possui componentes de alta freqüência indesejáveis, ou ruídos, então sempre que um sinal é amostrado, uma pré-filtragem deve ser realizada. Nos CLPs, os filtros anti-aliasing são encontrados na maioria dos cartões de leitura de sinais analógicos na forma de filtros RC.
Escolha do tempo de amostragem e dimensionamento de filtro anti-aliasing
O filtro passa-baixa mais simples que pode ser utilizado como anti-aliasing é o filtro de 1ª ordem. Este filtro elimina freqüências superiores a sua freqüência de corte (ou ).
A resposta em freqüência é mostrada abaixo. A partir da freqüência 1/τf, o sistema começa a atenuar a freqüência de entrada. Esta atenuação atinge 90% na freqüência 10/τf. Existe, portanto, uma zona de transição entre a frequência de corte e frequência onde existe uma atenuação efetiva.
O filtro anti-aliasing deve eliminar frequências superiores a freqüência máxima do sinal ωm. Para um filtro ideal teríamos ωf=ωm. Considerando, porém, a zona de transição do filtro de 1ª ordem, a frequência de corte deve ser posicionada antes, por exemplo, na metade da frequência máxima:
A freqüência máxima ωm, por sua vez, pode ser estimada como 10 vezes o valor da freqüência de corte ωc da resposta em freqüência do processo, considerando uma dinâmica de transferência de 1ª ordem para o mesmo, ou seja:
Substituindo a equação 2 na equação 1, fica:
Ou seja, a freqüência de corte do filtro pode ser dimensionada com um quinto da constante de tempo do processo.
No caso da freqüência de amostragem ωa, esta deve ser o dobro da freqüência máxima. Considerando o uso de um filtro de primeira ordem, a freqüência máxima do sinal filtrado ωmf, será:
E convertendo para período de amostragem, temos:
Resumindo, dada a constante de tempo τ do sistema a ser controlado, o tempo de amostragem TA e a constante de tempo τf do filtro anti-aliasing, são dados por:
