Função de Transferência
Definição
Função de transferência é a relação entre as transformadas de Laplace do sinal de saída (função resposta) e do sinal de entrada (função excitação). Aplicável a sistemas dinâmicos lineares SISO, em condições iniciais nulas.
Lembrando que um sistema é a “relação causa-efeito entre sinais” então uma Função de Transferência é a representação matemática de um sistema.
Exemplo 1:
Exemplo 2:
- A função de transferência, ou F.T., é tipicamente designada como G(s);
- A função de transferência equivale a transformada de Laplace da resposta impulsiva de um sistema.
Pólos, Zeros e o mapa S
Já sabemos que uma função de transferência G(s) é uma razão entre polinômios em “s”. Mas suas principais propriedades são endereçada por meio de pólos, zeros e o mapa S.
- pólos são as raízes do polinômio do denominador, ou seja, valores de “s” que, no limite, levam G(s)->inf
- zeros são as raízes do polinômio do numerador, ou seja, valores de “s” que tornam G(s)=0
O mapa “S” é um representação gráfica para indicar com “X” a posição de cada pólo e com um “o” (círculo) a posição de cada zero. Como a variável “S” é complexa, então se utiliza um plano cartesiano onde a abscissa representa a parte real e a ordenada representa a parte imaginária.
O mapa S do exemplo anterior seria:
A resposta impulsiva
É a resposta de um sistema a uma entrada do tipo impulso. Sendo chamada aqui de h(t), esta função se notabiliza por ser uma resposta do tipo “transitório puro”, ou seja, revela apenas a parte dinâmica da resposta.
Visto no domínio “s”, a transformada de Laplace da resposta impulsiva H(s) equivale a função de transferência do sistema G(s). Em outras palavras, a resposta impulsiva h(t) é a transformada inversa de Laplace da função de transferência do sistema.
Exemplo numérico:
Mapa S e a resposta impulsiva
A posição dos pólos no mapa “S” determina o formato da curva de resposta impulsiva de um sistema. Veja exemplos abaixo.
A função resposta ao degrau
É a resposta de um sistema a uma entrada do tipo degrau. Esta função é muito utilizada para caracterizar a resposta dinâmicas de sistemas a partir de testes empíricos, visto que o sinal degrau é o mais simples de ser aplicado em um sistema em operação.
Apesar de geralmente ser obtida por meios empíricos, a função resposta ao degrau pode ser extraída diretamente da Função de Transferência, fazendo-se X(s)=1/s. Veja o exemplo:
Resposta de um sistema dinâmico para uma entrada genérica usando convolução
Já foi mostrado como obter a resposta de um sistema para entradas do tipo impulso e degrau a partir da função de transferência. Nesta seção será demostrado que, conhecida a função resposta impulsiva de um sistema, é possível obter sua resposta para qualquer tipo de entrada. Para facilitar, será utilizado sinais discretos no tempo.
A figura abaixo mostra um sinal contínuo x(t) e sua versão amostrada x[k]. Considere que a mesma operação foi feita na função resposta o degrau, resultado em h[k].
A operação de convolução pode ser entendida como sendo a resposta do sistema para uma entrada composta por uma sequencia de impulsos igualmente espaçados, mas de diferentes amplitudes, tal como o sinal x[k]. A saída, neste caso, é a função resposta impulsiva h[k]. E, da mesmo forma como o sinal de entrada pode ser reconstituído como a soma desses impulsos defasados, a resposta pode ser obtida como o somatório das resposta impulsivas de cada um dos impulsos de entrada.
No exemplo a seguir, para simplificar, foi usado como entrada um sinal tipo degrau unitário e, neste caso, a entrada é uma sequência se impulsos unitários. A figura mostra como a saída é obtida a partir da combinação da resposta do sistema a cada impulso de entrada.
